Question

9．問題提出：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？
問題探究：不妨假設能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關系，我們可以從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結論．
探究一：
（1）用3根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？
此時，顯然能搭成一種等腰三角形．所以，當n=3時，m=1
（2）用4根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形，所以，當n=4時，m=0
（3）用5根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=5時，m=1
（4）用6根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形
若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=6時，m=1
綜上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：
（1）用7根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并把結果填在表②中）
（2）分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三
角形？（只需把結果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究，…
解決問題：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？
（設n分別等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整數(shù)，把結果填在表 ③中）

n	4k-1	4k	4k+1	4k+2
m

問題應用：用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（要求寫出解答過程）
其中面積最大的等腰三角形每個腰用了672根木棒．（只填結果）

Answer 1

分析 探究二：
（1）周長為7，讓腰長從1開始逐個驗證即可；
（2）周長為8、9、10，方法同上；
解決問題：
問題的本質(zhì)是，給定三角形的周長n，且n=2a+b，求滿足要求的a的整數(shù)解的個數(shù)m．因此，根據(jù)三角形三邊關系，我們將a的取值范圍用n表示出來，從而就可以確定n在取任意值時，a的整數(shù)解個數(shù)m；
任意一個整數(shù)，均可以表示成4k-1，4k，4k+1，4k+2四種形式當中的一種，讓n取這四種值，得出m的值填表；

問題應用：
（1）根據(jù)上面探究得出的一般結論，只需看2016符號哪種情況即可．n=2016=504×4，m=504-1=503；
（3）周長相同的情況下，等邊三角形面積最大；

解答 解：探究二：
（1）7=1+1+5（舍去）；
7=2+2+3（符合要求）；
7=3+3+1（符合要求）；
（2）8=1+1+6（舍去）；
8=2+2+4（舍去）；
8=3+3+2（符合要求）；
9=1+1+7（舍去）；
9=2+2+5（舍去）；
9=3+3+3（符合要求）；
9=4+4+1（符合要求）；
10=1+1+8（舍去）；
10=2+2+6（舍去）；
10=3+3+4（符合要求）；
10=4+4+2（符合要求）；
填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解決問題：
令n=a+a+b=2a+b，
則：b=n-2a，
根據(jù)三角形三邊關系定理可知：
2a＞b且b＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a＞n-2a}\\{n-2a＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{n}{4}＜a＜\frac{n}{2}$，
若n=4k-1，則$k-\frac{1}{4}＜a＜2k-\frac{1}{2}$，a的整數(shù)解有k個；
若n=4k，則k＜a＜2k，a的整數(shù)解有k-1個；
若n=4k+1，則$k+\frac{1}{4}＜a＜2k+\frac{1}{2}$，a的整數(shù)解有k個；
若n=4k+2，則$k+\frac{1}{2}＜a＜2k+1$，a的整數(shù)解有k個；
填表如下：

n	4k-1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k-1	k	k

問題應用：
（1）∵2016=4×504，
∴k=504，
則可以搭成k-1=503個不同的等腰三角形；  
（2）當?shù)妊�三角形是等邊三角形時，面積最大，
∴2016÷3=672．

點評 本題以一種探究的方式考查了腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關系、整數(shù)解問題，命題新穎，視角獨特，是一道經(jīng)典好題．探究過程中，體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想．掌握好等腰三角形性的基本性質(zhì)及三角形三邊關系是解決本題的關鍵．