Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+1與y=-x+3交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線AB上存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)E，D，O，A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出$\frac{BE}{CD}$的值．

Answer 1

分析 分別求得兩直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法求得直線OA的解析式，然后分三種情況：①當(dāng)OE∥AD，ED∥OA時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得直線OE的解析式，進(jìn)而求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得直線ED的解析式，然后聯(lián)立方程求得D的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理分別求得BE和CD的長(zhǎng)，從而求得$\frac{BE}{CD}$的值；②當(dāng)DE∥OA時(shí)，OD∥AB時(shí)，先求得OD的解析式，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求得直線DE的解析式，聯(lián)立方程求得E的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求得BE和CD的長(zhǎng)，從而求得$\frac{BE}{CD}$的值；③當(dāng)AE∥OD時(shí)，OE∥AD時(shí)，結(jié)合①②即可求得BE和CD的長(zhǎng)，從而求得$\frac{BE}{CD}$的值．

解答 解：在y=x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x+1=0，
∴x=-1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
在y=-x+3中，當(dāng)y=0時(shí)，-x+3=0，
∴x=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．
∴直線OA為y=2x，
①如圖①所示：當(dāng)OE∥AD，ED∥OA時(shí)，

∵OE∥AC，
所以直線OE的解析式為y=-x，
聯(lián)立OE、AB，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵ED∥OA，
設(shè)直線DE的解析式為y=2x+b，
代入（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）得$\frac{1}{2}$=2×（-$\frac{1}{2}$）+b，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴直線DE的解析式為y=2x+$\frac{3}{2}$，
聯(lián)立ED、AC，得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+\frac{3}{2}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
即D（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴BE=$\sqrt{（-1+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\sqrt{（\frac{1}{2}-3）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{1}{5}$；
②如圖②：當(dāng)DE∥OA時(shí)，OD∥AB時(shí)，

∵OD∥AB，
∴直線OD的解析式為y=x，
聯(lián)立OD、AC，得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∵ED∥OA，
設(shè)直線DE的解析式為y=2x+b，
代入（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）得，$\frac{3}{2}$=2×（$\frac{3}{2}$）+b，解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴直線DE的解析式為y=2x-$\frac{3}{2}$，
聯(lián)立ED、AC，得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-\frac{3}{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
即E（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∴BE=$\sqrt{（-1-\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{7}{2}$$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{7}{3}$；
③如圖③，當(dāng)AE∥OD時(shí)，OE∥AD時(shí)，

由①②可知E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$；
綜上所述：$\frac{BE}{CD}$的值為$\frac{1}{5}$或$\frac{7}{3}$或$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，掌握相互平行的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)相同是解題的關(guān)系，解答本題主要應(yīng)用了分類討論的思想．