Question

1．已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，動點P以每秒$\sqrt{3}$個單位從點B出發(fā)沿線段BA、AC運動，過點P作邊長為3的等邊△FDE，使得點D在線段BC上，點E在線段DC上．
（1）如圖（1），當EF經(jīng)過點A時，動點P運動時間t為多少？
（2）設點P運動t秒時，△ABC與△DEF重疊部分面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式．
（3）如圖（2），在點P的運動過程中，是否存在時間t，使得以點P為圓心，AP為半徑的圓與△FDE三邊所在的直線相切？如果存在，請直接寫出t的值；如不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點A作AG⊥BC于G，由銳角三角函數(shù)求得AB=2$\sqrt{3}$，BG=$\frac{1}{2}$BC=3，再根據(jù)三角函數(shù)列方程求解．
（2）根據(jù)點P的不同位置分類討論，由三角形的面積公式列方程求解；
（3）當EF過A點時，PA⊥AC，由（1）解得：t=1，當點E，C重合時，即點P到DF的距離=AP=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，由直角三角形的性質(zhì)列方程2（$\sqrt{3}t-2\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，求得t=$\frac{8}{3}$，當P到BC的距離=PA，列方程$\frac{\sqrt{3}t}{2}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}t$，求得t=$\frac{4}{3}$，當點P到EF的距離=PA時，列方程$\frac{\sqrt{3}（t-1）}{2}$=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，求得t=3．

解答  解：（1）過點A作AG⊥BC于G，
∵∠B=30°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵△DEF為正三角形，
∴∠F=∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BPD=∠FPA=30°
∴∠FAP=∠BAE=90°，
由題意得：PB=$\sqrt{3}$t，AP=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴AE=2，
∴AF=1，
∴tan∠FPA=$\frac{AF}{AP}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}-\sqrt{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=1；

（2）當0≤t≤1時，如圖2，
由（1）得：EF⊥AB，AB=2$\sqrt{3}$，
∵PB=$\sqrt{3}$t，∴PD=t，F(xiàn)P=3-t，F(xiàn)Q=$\frac{3-t}{2}$，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S=S_△DEF-S_△PQF=$\frac{1}{2}$×$3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{3-t}{2}$$•\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{4}t+\frac{9\sqrt{3}}{8}$；
當1＜t≤2時，如圖3，
∵BP=$\sqrt{3}$t，
∴BD=t，
∴CE=6-3-t=3-t，
∴CQ=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴S=S_△ABC-S_△BPD-S_△ECH=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}t•\frac{1}{2}t$-$\frac{1}{2}（3\sqrt{3}-\sqrt{3}t）•\frac{3-t}{2}$，
∴S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{2}$t$+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
當2＜t≤3時，如圖4，
由（1）得：DF⊥AC，
∵AP=$\sqrt{3}t-2\sqrt{3}$，
∴PC=2$\sqrt{3}-（\sqrt{3}t-2\sqrt{3}）$=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
∴PD=4-t，
∴PF=t-1，
∴PQ=$\sqrt{3}（t-1）$，
∴S=S_△DEF-S_△PFQ=$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}•（t-1）•\sqrt{3}（t-1）$，
∴S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\sqrt{3}t+\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
綜上所述：S=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{4}t+\frac{9\sqrt{3}}{8}$（0≤t≤1），
S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{2}$t$+\frac{3\sqrt{3}}{4}$（1＜t≤2），
S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\sqrt{3}t+\frac{7\sqrt{3}}{4}$（2＜t≤3）；

（3）當EF過A點時，PA⊥AC，
由（1）解得：t=1，
當點E，C重合時，
即點P到DF的距離=AP=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
∵PC=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴2AP=CP，
即：2（$\sqrt{3}t-2\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
當P到BC的距離=PA，
即；$\frac{\sqrt{3}t}{2}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}t$，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
當點P到EF的距離=PA時，
即：$\frac{\sqrt{3}（t-1）}{2}$=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
解得：t=3，
∵2.5秒時運動結(jié)束，
∴當t=1，$\frac{4}{3}$時，使得以點P為圓心，AP為半徑的圓與△FDE三邊所在的直線相切．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，動點問題，三角函數(shù)，列方程等知識點，特別是（2）（3）兩問要根據(jù)點P的本題位置求解．