Question

13．如圖，已知ABCD是菱形，△EFP的頂點E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上，且EP=FP．
（1）證明：∠EPF+∠BAD=180°；
（2）若∠BAD=120°，證明：AE+AF=AP；
（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出∠MPF=∠NPE，推出∠EPF=∠MPF，由∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°，推出∠EPF+∠BAD=180°即可；
（2）如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出FM=NE，由PA=PA，PM=PN，推出Rt△PAM≌Rt△PAN，推出AM=AN，推出AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，再證明PA=2AM即可解決問題；
（3）結(jié)論：AF+AE=PA•cos$\frac{θ}{2}$．證明方法類似（2）；

解答 解：（1）如圖1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠PAM=∠PAN，
∴PM=PN，
∵PE=PF，
∴Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴∠MPF=∠NPE，
∴∠EPF=∠MPF，
∵∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°．

（2）如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，
∵∠BAD=120°，
∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，
∴AE+AF=PA．

（3）結(jié)論：AF+AE=PA•cos$\frac{θ}{2}$．
理由：如圖2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．
由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，
∵∠BAD=θ，
∴∠PAM=$\frac{θ}{2}$，易知AM=PA•cos$\frac{θ}{2}$，
∴AF+AE=PA•cos$\frac{θ}{2}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．