Question

3．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B（-2，4）．
（1）求a的值；
（2）作Rt△OAB，使∠BOA=90°，且OB=2OA，求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線y=ax²（a≠0）于點(diǎn)D，將該拋物線向左或向右平移t（t＞0）個(gè)單位長度，記平移后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′．當(dāng)CD′+OB′的值最小時(shí)，請直接寫出t的值和平移后相應(yīng)的拋物線解析式．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)B（-2，4）代入y=ax²（a≠0）求解即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)A作第一象限時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N．先證明△BNO∽△OMA，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得OM和AM的長，從而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；大概點(diǎn)A在第三象限內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N．同理可得到OM=1，MA=2，從而可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，不成立；當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為E，作點(diǎn)O關(guān)于y=4的對稱點(diǎn)O′，連結(jié)EO′交x軸與點(diǎn)B′，由平移的性質(zhì)可得到EB′=CD′，然后依據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知OB′=O′B′，則當(dāng)點(diǎn)O′、B′、E在一條直線上時(shí)CD′+OB′的值最小，從而可求得B′F=BB′=1，然后依據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律可求得到平移后拋物線的解析式．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（-2，4）代入y=ax²（a≠0）得4a=4，解得：a=1．
（2）如圖①，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N．

∴∠OMA=∠BNO=90°，
∴∠NBO+∠NOB=90°．
∵∠BOA=90°，
∴∠NOB+∠MOA=90°，
∴∠NBO=∠MOA，
∴△BNO∽△OMA，
∴$\frac{BN}{OM}=\frac{NO}{MA}=\frac{BO}{OA}=\frac{2}{1}$．
∵BN=4，NO=2，
∴OM=2，MA=1．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
如圖②，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N．

同上可得OM=1，MA=2．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1）．
綜上所述，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（-2，-1）．
（3）當(dāng)點(diǎn)A在第三象限時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，不成立．
如圖③所示：過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為E，作點(diǎn)O關(guān)于y=4的對稱點(diǎn)O′，連結(jié)EO′交x軸與點(diǎn)B′．

由平移的性質(zhì)可知BB′=DD′=t，EB′=CD′．
∴OB′+CD′=OB′+B′E．
∵點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于y=4對稱，
∴O′（0，8），O′B′=OB′．
∴OB′+CD′=OB′+B′E=O′B′+B′E．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)點(diǎn)B平移到點(diǎn)B′處時(shí)CD′+OB′的值最小．
∵F為OO′的中點(diǎn)，B′F∥OE，
∴B′F=$\frac{1}{2}$OE=1．
∴BB′=1．
∴t=1．
∴平移后拋物線的解析式為y=（x-1）²，即y=x²-2x+1．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、平移的性質(zhì)、軸對稱最短路徑問題，找出CD′+OB′取的最小值的條件是解題的關(guān)鍵．