Question

12．在平面直角坐標系中，點與點之間存在一種變換T，在變換T的作用下，點P（x，y）被變?yōu)辄cP′（2x-y，3x-2y+3）．例如：當P點坐標為（1，0）時，在變換T的作用下變?yōu)辄cP′（2×1-0，3×1-2×0+3），即為P′（2，6）．
（1）若點M在變換T的作用下變?yōu)镸′（1，-1），求點M的坐標；
（2）若點N（$\frac{m}{4}$，m）在變換T的作用下變?yōu)榈膶�應點N′在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設平面直角坐標系上的任意一點Q（x，y）在變換T的作用下對應點為Q′，問是否存在一次函數(shù)y=kx+b，使得點Q和Q′都在這個一次函數(shù)的圖象上？若存在，求出k、b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先設點M的坐標是（x，y），則在變換T的作用下，點M（x，y）被變?yōu)辄cM′（2x-y，3x-2y+3），然后根據(jù)點M′的坐標是（1，-1），列出二元一次方程組，求出x、y的值，即可求出點M的坐標．
（2）首先求出點N（$\frac{m}{4}$，m）在變換T的作用下的點N′的坐標是多少；然后根據(jù)點N′在第二象限，可得點N′的橫坐標小于0，縱坐標大于0，求出實數(shù)m的取值范圍即可．
（3）①當x=y時，不存在一次函數(shù)y=kx+b，使得點Q和Q′都在這個一次函數(shù)的圖象上；②當x≠y時，存在一次函數(shù)y=kx+b，使得點Q和Q′都在這個一次函數(shù)的圖象上，根據(jù)點Q和Q′都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，列出二元一次方程組，求出k、b的值各是多少即可．

解答 解：（1）設點M的坐標是（x，y），
則在變換T的作用下，點M（x，y）被變?yōu)辄cM′（2x-y，3x-2y+3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=1}\\{3x-2y+3=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=11}\end{array}\right.$
∴點M的坐標是（6，11）．

（2）2x-y=2×$\frac{m}{4}$-m=$\frac{m}{2}-m=-\frac{m}{2}$
3x-2y+3=3×$\frac{m}{4}$-2m+3=$\frac{3}{4}m$-2m+3=-$\frac{5}{4}m+3$
∵點N′在第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{m}{2}＜0}\\{-\frac{5}{4}m+3＞0}\end{array}\right.$
解得0＜m＜2.4，
即實數(shù)m的取值范圍是0＜m＜2.4．

（3）①當x=y時，不存在一次函數(shù)y=kx+b，使得點Q和Q′都在這個一次函數(shù)的圖象上．
②當x≠y時，存在一次函數(shù)y=kx+b，使得點Q和Q′都在這個一次函數(shù)的圖象上．
①當x=y時，
∵點Q（x，x）在變換T的作用下對應點為Q′（x，x+3），
∴不存在一次函數(shù)y=kx+b，使得點Q和Q′都在這個一次函數(shù)的圖象上．

②當x≠y時，點Q（x，y）在變換T的作用下對應點為Q′（2x-y，3x-2y+3），
∵點Q和Q′都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3x-2y+3=k（2x-y）+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3-\frac{3}{y-x}}\\{b=y-3x+\frac{3x}{y-x}}\end{array}\right.$
∴當x≠y時，存在一次函數(shù)y=kx+b，使得點Q和Q′都在這個一次函數(shù)的圖象上，此時k=3-$\frac{3}{y-x}$，b=y-3x+$\frac{3x}{y-x}$．

點評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．
（2）此題還考查了各個象限的點的特征，以及幾何變換的知識，要熟練掌握．