Question

20．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎同學(xué)用兩塊完全一樣的透明等腰直角三角板ABC、DEF進(jìn)行探究活動(dòng)．
操作：使點(diǎn)D落在線(xiàn)段AB的中點(diǎn)處并使DF過(guò)點(diǎn)C（如圖1），然后將其繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直至點(diǎn)E落在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)結(jié)束操作，在此過(guò)程中，線(xiàn)段DE與AC或其延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)K，線(xiàn)段BC與DF相交于點(diǎn)G（如圖2，3）．
探究1：在圖2中，求證：△ADK∽△BGD．
探究2：在圖2中，求證：KD平分∠AKG．
探究3：①在圖3中，KD仍平分∠AKG嗎？若平分，請(qǐng)加以證明；若不平分，請(qǐng)說(shuō)明理由．
      ②在以上操作過(guò)程中，若設(shè)AC=BC=8，KG=x，△DKG的面積為y，請(qǐng)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

分析 探究1，根據(jù)△ABC、△DEF是等腰直角三角形可知∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，由三角形內(nèi)角和定理可知∠KDA+∠BDG=135°．∠BDG+∠BGD=135°，故可得出△ADK∽△BGD；
探究2，根據(jù)△ADK∽△BGD可知$\frac{AK}{BD}$=$\frac{KD}{DG}$，再由點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)得出BD=AD，故可得出△ADK∽△DCK，∠AKD=∠DKC，由此可得出結(jié)論；
探究3，①同探究1可得△ADK∽△BGD，同探究2可得，△ADK∽△DGK，故可得出結(jié)論；
②過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥KG于點(diǎn)N，由①知線(xiàn)段KD平分∠AKG，故DM=DN．再由AC=BC=8，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∠KAD=45°，可知DM=DN=4．根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：探究1，
∵∠KAD=∠KDG=∠DBG=45°，
∴∠KDA+∠BDG=135°．
∵∠BDG+∠BGD=135°，
∴∠KDA=∠BGD，
∴△ADK∽△BGD；
探究2，∵△ADK∽△BGD，
∴$\frac{AK}{BD}$=$\frac{KD}{DG}$，
∵點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，
∴BD=AD，
∴$\frac{AK}{AD}$=$\frac{KD}{DG}$，
∴$\frac{AK}{KD}$=$\frac{AD}{DG}$，
∵∠KAD=∠KDG=45°，
∴△ADK∽△DCK，
∴∠AKD=∠DKC，
∴KD平分∠AKG．
探究3，①KD仍平分∠AKG．
理由如下：
∵同探究1可得△ADK∽△BGD，
同探究2可得，△ADK∽△DGK，
∴∠AKD=∠DKG，
∴KD仍平分∠AKG；
②如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，DN⊥KG于點(diǎn)N，
由①知線(xiàn)段KD平分∠AKG，
∴DM=DN．
∵AC=BC=8，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∠KAD=45°，
∴DM=DN=4．
∵KG=x，
∴S_△DKG=y=$\frac{1}{2}$×4x=2x，
對(duì)于圖3的情況同理可得y=2x，
當(dāng)KD=DG時(shí)，△KDG是等腰三角形，則△ADK也是等腰三角形，AK=AD=4$\sqrt{2}$，
則CK=8-AK=8-4$\sqrt{2}$，
△CKG是等腰直角三角形，則KG=$\sqrt{2}$CK=8（$\sqrt{2}$-1）；
當(dāng)E在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
作KH⊥AB于點(diǎn)H．
設(shè)KH=z，則DH=z-4$\sqrt{2}$，
則DH²+z2=64，
即（z-4$\sqrt{2}$）²+z²=64，
解得z=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$或2$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$（舍去），
則AK=$\sqrt{2}$z=4+4$\sqrt{3}$，
∵△ADK∽△DGK，
∴$\frac{KG}{DK}$=$\frac{DK}{AK}$，即$\frac{x}{8}$=$\frac{8}{4+4\sqrt{3}}$，
解得x=8（$\sqrt{3}$-1）．
綜上所示，y=2x，其中8（$\sqrt{2}$-1）≤x≤8（$\sqrt{3}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．難度適中．