Question

15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D． 
（1）求b、c的值；
（2）若點(diǎn)E是Rt△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），連接CE，DE，當(dāng)EC+EO的值最小時(shí)，求△BDE的面積；
（3）如圖2，連結(jié)OB，將△OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)△OB′C′，直線CC′與直線BB′交于點(diǎn)F，直線CC′與直線OB交于點(diǎn)P，當(dāng)△BPF是等腰三角形時(shí)，直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（-1，0），B（4，5），C（4，0），然后利用待定系數(shù)法即可求得b，c的值；
（2）先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)得到D（1，-4），再根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AB的解析式，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為O’（-1，1），根據(jù)待定系數(shù)法得到直線CO’的解析式，過(guò)點(diǎn)D做DF交直線AB于F，可得F（1，2），根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（3）把△BPF是等腰三角形轉(zhuǎn)化為△CPO是等腰三角形即在直線OB上找一點(diǎn)P使△CPO是等腰三角形，易得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵AC=BC，OA=1，OC=4，
∴A（-1，0），B（4，5），C（4，0），
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=1-b+c}\\{25=16+4b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，-4），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+d，
將A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+d，
解得k=1，d=1，
所以直線AB的解析式為y=x+1，
點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為O′（-1，1）．
直線CO′的解析式為y=-0.2x+0.8，
直線AB與直線CO′的交點(diǎn)即為E（-$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{6}$），
如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF交直線AB于F，可得F（1，2），
所以S_△DEB=$\frac{1}{2}$DF×CH=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{25}{6}$=12.5；
（3）∵△OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△OB′C′，
∴△OCC′，△OB′B是等腰三角形，∠OBB′=∠OCC′，
∴∠B′BO=∠PCO．
∵∠BPF=∠CPO，
∴△BPF∽△CPO，
∴把△BPF是等腰三角形轉(zhuǎn)化為△CPO是等腰三角形．即在直線OB上找一點(diǎn)P使△CPO是等腰三角形．
∵O（0，0），B（4，5），
∴OB直線的解析式為y=$\frac{5}{4}$x．
設(shè)P（x，$\frac{5}{4}$x）．
①當(dāng)OP=CP時(shí)，有：x²+（$\frac{5}{4}$x）²=（4-x）²+（$\frac{5}{4}$x）²，解得：x=2，
所以P（2，$\frac{5}{2}$）．
②當(dāng)OP=OC時(shí)，有：x²+（$\frac{5}{4}$x）²=4²，解得：x=±$\frac{16}{41}$$\sqrt{41}$，
所以P（$\frac{16}{41}$$\sqrt{41}$，$\frac{20}{41}$$\sqrt{41}$）或P（-$\frac{16}{41}$$\sqrt{41}$，-$\frac{20}{41}$$\sqrt{41}$）．
③當(dāng)CP=OC時(shí)，有：（4-x）²+（$\frac{5}{4}$x）²=4²，解得：x=$\frac{128}{41}$，
所以P（$\frac{128}{41}$，$\frac{160}{41}$）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，$\frac{5}{2}$）或（-$\frac{16}{41}$$\sqrt{41}$，-$\frac{20}{41}$$\sqrt{41}$）或（$\frac{16}{41}$$\sqrt{41}$，$\frac{20}{41}$$\sqrt{41}$）或（$\frac{128}{41}$，$\frac{160}{41}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，三角形面積問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．