Question

1．如圖所示，過等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B，C依次作AB，BC，CA的垂線圍成△A₁B₁C₁，再過△A₁B₁C₁的頂點(diǎn)A₁、B₁、C₁依次作A₁B₁、B₁C₁、A₁C₁的垂線圍成△A₂B₂C₂…依照此規(guī)律直至構(gòu)成△A_nB_nC_n，若S_△ABC=S，則S${\;}_{△{A}_{n}}$${\;}_{{B}_{n}}$${\;}_{{C}_{n}}$=3ⁿS．

Answer 1

分析 易證△ABC、△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、…相似，設(shè)△ABC的邊長為1，根據(jù)勾股定理求出A₁B₁=$\sqrt{3}$，A₂B₂=3，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可知：S△A₁B₁C₁=3S，S△A₂B₂C₂=9S，S△A₃B₃C₃=27S，于是S△A_nB_nC=3ⁿS．

解答 解：設(shè)AB=1，在△A₁AB₁中
根據(jù)勾股定理A₁A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A₁B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵A₁A=BB₁，
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$，
∵△ABC、△A₁B₁C₁、△A₂B₂C₂、…相似，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}$=（$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$）²=$\frac{1}{3}$，
∵S_△ABC=S，
∴S_△A1B1C1=3S，
∴S△A₂B₂C₂=9S，S△A₃B₃C₃=27S，
依此類推，
S△A_nB_nC_n=3ⁿS．
故答案為：3ⁿS．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理以及運(yùn)用圖形探索圖形規(guī)律問題，發(fā)現(xiàn)相鄰的兩個(gè)三角形相似比為$\frac{1}{3}$是解決問題的關(guān)鍵．