Question

11．如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF，BD⊥CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，AC與BG的交點(diǎn)為M，當(dāng)AB=4，AD=$\sqrt{2}$時(shí)，求線段CM的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，根據(jù)角邊角關(guān)系證出△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF；先延長BD交CF于點(diǎn)G，BG交AC于點(diǎn)M，根據(jù)（1）證出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又根據(jù)對(duì)頂角相等，得出△BMA∽△CMG，再根據(jù)根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠BGC=∠BAC=90°，即可證出BD⊥CF；
（3）首先過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM的值，從而求出CM的值．

解答 解：（1）BD=CF、BD⊥CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
如圖2，延長BD交CF于點(diǎn)G，BG交AC于點(diǎn)M．

∵△BAD≌△CAF（已證），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．
（2）如圖3，過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N．

∵在正方形ADEF中，AD=DE=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2，
∴AN=FN=$\frac{1}{2}$AE=1
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=$\frac{FN}{CN}=\frac{1}{3}$．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=tan∠FCN=$\frac{1}{3}$．
∴AM=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{4}{3}$．
∴CM=AC-AM=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了四邊形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用．