Question

11．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG放置在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)在x軸的正半軸，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)C，G均在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，若AB=$\sqrt{3}$，則k的值是（　�。�

• A． 2$+\sqrt{2}$
• B． 3+$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3.6

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H，易證△BAO≌△ADE，△ABO≌△CBH，從而可知HB=OB=AE，HB=OA=DE，設(shè)G的坐標(biāo)為（x，y），從而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（x-2y，x-y），利用勾股定理即可求出x與y的值，從而可求出k的值．

解答 解：過點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H，
∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AB=AD，ED=FG=EF，∠BAD=90°
∴∠BAO+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAO=∠ADE，
在△BAO與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ADE}\\{∠BOA=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△BAO≌△ADE（AAS）
∴OA=DE，OB=AE，
同理可證：△ABO≌△CBH，
∴CH=OB，HB=OA
設(shè)G（x，y），
∴DE=EF=FG=y，OF=x，
∴OA=HB=y，
∴AE=OB=x-2y，
∴OH=OB+HB=x-y，
∴C的坐標(biāo)為（x-2y，x-y），
∵點(diǎn)C與點(diǎn)G在反比例函數(shù)圖象上，
∴（x-2y）（x-y）=xy，
∴x²-4xy+2y²=0，
在Rt△AOB中，
由勾股定理可知：（x-2y）²+y²=3，
∴x²-4xy+5y²=3，
∴y²=3，
∴y=1，
∴x²-4x+2=0，
∴x=2±$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=2-$\sqrt{2}$時(shí)，
∴x-2y=2-$\sqrt{2}$-2=-$\sqrt{2}$＜0，不符合題意，
當(dāng)x=2+$\sqrt{2}$，
∴k=xy=2+$\sqrt{2}$，
故選（A）

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)的綜合問題，涉及勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定，解方程等知識(shí)，屬于中等題型．