Question

20．在一次戶外拓展訓(xùn)練中，小明攀到一個高為10米的高地A處（如圖）看到懸崖頂部O的仰角為30°，利用掛在懸崖頂部的繩索，劃過90°到達(dá)高為3米的平臺B處，求繩索OA的長度和小明在蕩繩索的過程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN．（小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 如圖，作AP⊥OM、BQ⊥OM，可得AC=PM=10、BD=QM=3、PQ=PM-QM=7，設(shè)OA=x，可得OP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$x、AP=OAcos∠OAP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，證△AOP≌△BOQ得AP=OQ，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+7，解之可得x的值；由MN=OP+PM-OQ可得答案．

解答 解：如圖，作AP⊥OM于點(diǎn)P、BQ⊥OM于點(diǎn)Q，

則AC=PM=10、BD=QM=3，
∴PQ=PM-QM=7，
設(shè)OA=x，
∵∠OAP=30°，
∴OP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$x、AP=OAcos∠OAP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠OAP+∠AOP=90°、∠AOP+∠BOQ=90°，
∴∠OAP=∠BOQ，
在△AOP和△BOQ中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠APO=∠OQB=90°}\\{∠OAP=∠BOQ}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOQ（AAS），
∴AP=OQ，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+7，
解得：x=7+7$\sqrt{3}$≈19.12，
即繩索OA的長度約為19.12米；
MN=OP+PM-OQ=$\frac{1}{2}$x+10-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$x+10=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$×7（1+$\sqrt{3}$）+10=3．

點(diǎn)評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．