Question

16．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時，則m的值為$\frac{24}{41}$．

Answer 1

分析 作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E，連接ED于x軸交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而可以解答本題．

解答 解：∵拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$，
∴將x=0代入拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$得，y=-2；拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{25}{8}$．
∵拋物線y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-$\frac{3}{2}x-2$與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}$）．
∵點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個動點(diǎn)，
如下圖所示：

作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)點(diǎn)E，連接DE與x軸交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求．
設(shè)過點(diǎn)E（0，2）D（$\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}$）的直線的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{3}{2}k+b=-\frac{25}{8}}\end{array}\right.$
解得，$a=-\frac{41}{12}$，b=2．
∴$y=-\frac{41}{12}x+2$．
令y=0，則$0=-\frac{41}{12}x+2$，得x=$\frac{24}{41}$．
∴當(dāng)MC+MD的值最小時，則m的值為$\frac{24}{41}$．
故答案為：$\frac{24}{41}$．

點(diǎn)評 本題考查軸對稱--最短路徑問題、求直線的解析式，關(guān)鍵是找出所求問題需要的條件，靈活變化．