Question

12．已知四邊形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與邊CD相切于點E．
（1）如圖1，求證：∠ADC=2∠CBE；
（2）如圖2，若OD=6，OC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OD、AE、OE，根據(jù)已知條件得到AD，BC是⊙的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CE=CB，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠ABE，于是推出∠BEC=∠CBE，求得∠ODE=90°-∠DEA，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°，于是得到∠BEC=90°-∠DEA，等量代換得到∠ODE=∠BEC，即可得到結(jié)論．
（2）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OED=90°，推出Rt△ADO≌Rt△ODE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOD=∠EOD，同理∠EOC=∠BOC，于是得到∠DOC=∠DOE+∠COE=90°，根據(jù)勾股定理得到CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10，由三角形的面積公式求得OE=$\frac{OD•OC}{CD}$=$\frac{24}{5}$，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD、AE、OE，
∵∠BAD=∠ABC=90°，
∴AD，BC是⊙的切線，
∵CD切⊙O于E，
∴CE=CB，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠ABE，
∴∠BEC=∠CBE，
∵OA=OE，
∴OD⊥AE，
∴∠ODE=90°-∠DEA，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠DEA，
∴∠ODE=∠BEC，
∴∠ADC=2∠CBE；

（2）解：如圖2，連接OE，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OED=90°，
在Rt△ADO與Rt△ODE中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△ODE，
∴∠AOD=∠EOD，
同理∠EOC=∠BOC，
∴∠DOC=∠DOE+∠COE=90°，
∵OD=6，OC=8，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10，
∴OE=$\frac{OD•OC}{CD}$=$\frac{24}{5}$，
∴⊙O的半徑=$\frac{24}{5}$．

點評 本題主要考查切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用切線長定理證明三角形全等得到角相等是解題的關(guān)鍵．