Question

13．若⊙O是等邊△ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長(zhǎng)，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長(zhǎng)．

解答 解：連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，
∴BC=2BD，
∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×360°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵⊙O的半徑為2，
∴OB=2，
∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BD=2$\sqrt{3}$．
∴等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，圓的內(nèi)接等邊三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線(xiàn)的作法．