Question

8．如圖①，點A、B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角，現以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP和△OBQ，點C、D分別是OA、OB的中點，且四邊形CODE是平行四邊形．
（1）求證：△PCE≌△EDQ；
（2）如圖②，延長PC，QD交于點R．若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質、平行四邊形的性質得到∠PCE=∠EDQ，根據邊角邊公理證明即可；
（2）連結RO，根據線段垂直平分線的判定定理和性質定理得到AR=OR=BR，根據等邊三角形的判定定理證明即可．

解答 （1）證明：∵△OAP是等腰直角三角形，且點C是OA的中點，
∴△PCA和△PCO都是等腰直角三角形，
∴PC=AC=OC，∠PCO=90°，
同理：QD=OD=BD，∠QDO=90°，
∵四邊形CODE是平行四邊形，
∴CE=OD，ED=OC，
∴ED=PC，QD=CE，
∵CE∥ON，DE∥OM，
∴∠ACE=∠AOD，∠BDE=∠AOD，
∴∠ACE=∠BDE，
∴∠OCE=∠ODE，
∴∠OCE+∠PCO=∠ODE+∠QDO，
即∠PCE=∠EDQ，
在△PCE與△EDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}PC=ED\\∠PCE=∠EDQ\\ CE=DQ\end{array}\right.$，
∴△PCE≌△EDQ；

（2）連結RO，
∵△OAP和△OBQ均為等腰直角三角形，點C、D分別是OA、OB的中點，
∴PR與QR分別是OA，OB的垂直平分線，
∴AR=OR=BR，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORD=∠BRD，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°，
∴△ARB是等邊三角形．

點評 本題考查的是等腰直角三角形的性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握等腰直角三角形的性質、等邊三角形的判定定理是解題的關鍵．