Question

2．如圖，正方形ABCD中，點E為BC的中點，作AF⊥DE交DE、DC分別于P、F點，連PC．
求證：（1）F點為DC的中點
（2）PE+PF=$\sqrt{2}$PC．

Answer 1

分析 （1）由△ADF≌DCE，推出DF=CE，由EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，推出DF=$\frac{1}{2}$DC，即可證明F點為DC的中點；
（2）如圖作CM⊥CP交PE的延長線于M．只要證明△PCF≌△MCE，推出PF=EM，PC=CM，推出△PCM是等腰直角三角形，即可解決問題；

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠APD=∠DPF=90°，
∴∠ADP+∠DAF=90°，∠ADP+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠EDC}\\{∠ADF=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌DCE，
∴DF=CE，
∵EC=$\frac{1}{2}$BC，BC=DC，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴F點為DC的中點；

（2）如圖作CM⊥CP交PE的延長線于M．
∵△ADF≌△DCE，
∴∠AFD=∠DEC，
∴∠PFC=∠CEM，
∵∠PCM=∠DCB=90°，
∴∠PCF=∠ECM，∵CF=CE，
∴△PCF≌△MCE，
∴PF=EM，PC=CM，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴PM=$\sqrt{2}$PC，
∴PE+EM=PE+PF=$\sqrt{2}$PC，
∴PE+PF=$\sqrt{2}$PC．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形．