Question

14．已知點P（m，n）是拋物線沿y=-$\frac{1}{4}$x²-2上的一個動點，點A的坐標(biāo)為（0，-3）．
【特例探究】（1）如圖1，直線l過點Q（0，-1）且平行于x軸，過P點作PB⊥l，垂足為B，連接PA；
①當(dāng)m=0時，PA=1，PB=1；
②當(dāng)m=2時，PA=2，PB=2；
【猜想驗證】（2）對于m取任意一實數(shù)，猜想PA與PB的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
【拓展應(yīng)用】（3）請利用（2）的結(jié)論解決下列問題：
若動點P和點Q（0，-1）的直線交拋物線于另一點D，且PA=4AD，求直線PQ的解析式（圖2為備用圖）

Answer 1

分析 （1）①求得A、P、B的坐標(biāo)即可求得；②求得A、P、B的坐標(biāo)即可求得；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），然后根據(jù)兩點間的距離公式計算出PA和PB，從而可判斷它們相等；
（3）過點Q（0，-1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再證明△QDE∽△QPB，利用相似比得到關(guān)于DE，PB的數(shù)量關(guān)系，設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），PB=$\frac{1}{4}$m²+1，易得E點坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$m，-1），D點坐標(biāo)為[$\frac{1}{4}$m，-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²-2]，則ED=$\frac{1}{64}$m²+1，然后根據(jù)DE和PB的數(shù)量關(guān)系列方程$\frac{1}{4}$m²+1=4（$\frac{1}{64}$m²+1），解方程求出m，從而得到P點坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求直線PQ的解析式．

解答 解：（1）①當(dāng)m=0時，則P（0，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-2，
∴P（0，-2），
∴B點與Q點重合，
∵點A（0，-3），點Q（0，-1），
∴PA=1，PB=1．
②當(dāng)m=2時，則P（2，n），
代入y=-$\frac{1}{4}$x²-2得，n=-3，
∴P（2，-3），
∵點A（0，-3），點Q（0，-1），
∴PA=$\sqrt{{2}^{2}+{0}^{2}}$=2，PB=2；
故答案為：1，1；2，2；
（2）猜想PA與PB相等．理由如下：
理由如下：設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），
∵PA=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}m-2+3）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
PB=-1-（-$\frac{1}{4}$m²-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PA=PB．
②過點Q（0，-1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，
∵PA=4AD，
∴PB=4DE，
∵DE∥PB，
∴△QDE∽△QPB，
∴$\frac{QE}{QB}=\frac{DE}{PB}$=$\frac{1}{4}$，
設(shè)P（m，-$\frac{1}{4}$m²-2），則B（m，-1），PB=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴E點坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$m，-1），D點坐標(biāo)為[$\frac{1}{4}$m，-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²-2]，
∴ED=-1+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$m）²+2=$\frac{1}{64}$m²+1，
∴$\frac{1}{4}$m²+1=4（$\frac{1}{64}$m²+1），解得m₁=4，m₂=-4，
∴P點坐標(biāo)為（4，-6）或（-4，-6），
當(dāng)P點坐標(biāo)為（4，-6）時，直線PQ的解析式為y=-$\frac{5}{4}$x-1，
當(dāng)P點坐標(biāo)為（-4，-6）時，直線PQ的解析式為y=$\frac{5}{4}$x-1，
即直線PQ的解析式為y=$\frac{5}{4}$x-1或y=-$\frac{5}{4}$x-1．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．