Question

5．已知，OB∥AC，∠B=∠A=110°，試回答下列問題：

（1）如圖①，說明BC∥OA的理由．
（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在線段BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC等于35度；（在橫線上填上答案即可）．
（3）在（2）的條件下，若左右平行移動AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值．
（4）在（2）的條件下，如果平行移動AC的過程中，如圖③，若使∠OEB=∠OCA，此時∠OCA等于52.5度．（在橫線上填上答案即可）．

Answer 1

分析 （1）由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明．
（2）由∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA，算出結(jié)果．
（3）先得出結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化，理由為：由BC與AO平行，得到一對內(nèi)錯角相等，由∠FOC=∠AOC，等量代換得到一對角相等，再利用外角性質(zhì)等量代換即可得證；
（4）由（2）（3）的結(jié)論可得．

解答 解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，又∵∠B=∠A，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；

（2）∵∠B+∠BOA=180°，∠B=110°，
∴∠BOA=70°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠EOF，又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$（∠BOF+∠FOA）=$\frac{1}{2}$∠BOA=35°；
故答案為：35；

（3）結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：
∵BC∥OA，
∴∠FCO=∠COA，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠FCO，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB=1：2；

（4）由（1）知：OB∥AC，
則∠OCA=∠BOC，
由（2）可以設(shè)：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
則∠OCA=∠BOC=2α+β，
∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，
∵∠OEB=∠OCA，
∴2α+β=α+2β，
∴α=β，
∵∠AOB=70°，
∴α=β=17.5°，
∴∠OCA=2α+β=35°+17.5°=52.5°．
故答案為：52.5．

點(diǎn)評 此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及角的計算，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．