Question

19．在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點D．
（1）如圖1，當∠ABC=90°時，若CE平分∠ACB，交AB于點E，交BD于點F．
①求證：△BEF是等腰三角形；
②求證：BD=$\frac{1}{2}$（BC+BF）；
（2）點E在AB邊上，連接CE．若BD=$\frac{1}{2}$（BC+BE），在圖2中補全圖形，判斷∠ACE與∠ABC之間的數(shù)量關系，寫出你的結論，并寫出求解∠ACE與∠ABC關系的思路．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)∠ABC=90°，∠FDC=90°，以及∠ECB=∠ACE=22.5°，即可得到∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，即可判定△BEF是等腰三角形；
②延長AB至M，使得BM=AB，連接CM，根據(jù)三角形中位線定理可得BD∥CM，BD=$\frac{1}{2}$CM，再根據(jù)∠BFE=∠MCE=∠BEF，可得EM=MC，進而得出BD=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$（BC+BF）；
（2）與（1）②同理可得BD∥PC，BD=$\frac{1}{2}$PC，BP=BC；由BD=$\frac{1}{2}$（BC+BE），可證明△PEC和△BEF分別是等腰三角形；由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得$\frac{180°-∠EBF}{2}$=90°-∠DCF，即可得到∠ACE與∠ABC之間的數(shù)量關系：∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC．

解答 解：（1）①在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點D，
∴∠ABD=∠CBD，AD=CD，
∵∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=∠ACE=22.5°，
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°，
∴BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形；

②如圖，延長AB至M，使得BM=AB，連接CM，
∴BD∥CM，BD=$\frac{1}{2}$CM，
∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°，
∠BFE=∠MCE，
∴BC=BM，
由①得，∠BEF=∠BFE，BE=BF，
∴∠BFE=∠MCE=∠BEF，
∴EM=MC，
∴BD=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$（BC+BF）；

（2）∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC．
求解∠ACE與∠ABC關系的思路：
a，延長AB至P，使得BP=AB，連接CP，與（1）②同理可得BD∥PC，BD=$\frac{1}{2}$PC，BP=BC；
b，由BD=$\frac{1}{2}$（BC+BE），可證明△PEC和△BEF分別是等腰三角形；
c，由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°以及∠FCD+∠DFC=90°，可得$\frac{180°-∠EBF}{2}$=90°-∠DCF，即可證明∠ACE=$\frac{1}{4}$∠ABC．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質的運用，解決問題的關鍵是作輔助線，構造等腰三角形．