Question

17．如圖①，已知點A（0，m），B（n，0），點P為△ABO的角平分線的交點．
（1）若m，n滿足|m+n|+（m+2）²=0，求A，B的坐標(biāo)；
（2）連OP，在（1）的條件下，求證：OP+OB=AB；
（3）如圖，PN⊥AB于N，作PM⊥PA交x軸于M，試探究：AO-MO與PN之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程，求出m、n的值，即可得出答案；
（2）連接AP，在x軸正半軸截取OM=OP，連接PM，求出∠OMP=∠OPM=$\frac{1}{2}$∠POB，∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=22.5°，根據(jù)AAS證得△ABP≌△MBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到AB=BM；
（3）作 PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F，求出PF=PE，∠APF=∠MPE，根據(jù)ASA證△APF≌△MPE，推出AF=EM即可．

解答 解：（1）∵m，n滿足|m+n|+（m+2）²=0，
∴m+n=0，m+2=0，
∴m=-2，n=2，
∴A的坐標(biāo)是（0，-2），B的坐標(biāo)是（2，0）；

（2）如圖1，連接AP，在x軸負(fù)半軸截取OM=OP，連接PM，
則∠OMP=∠OPM=$\frac{1}{2}$∠POB，
∵P為△AOB角平分線交點，∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠BAO=∠AOP=∠BOP=∠ABO=45°，
∴∠ABP=∠MBP，∠PMO=∠OAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
在△ABP和△MBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BMP}\\{∠ABP=∠MBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△MBP（AAS），
∴AB=BM=OB+OP；

（3）AO-OM=2PN，
理由是：如圖2，作 PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于 F，
則∠AFP=∠MEP=90°，
∵P是△AOB角平分線交點，
∴PF=PE，
∵PE⊥x軸，PF⊥y軸，
∴∠PFO=∠PEO=∠FOE=90°，
∴∠FPE=90°，
∵AP⊥PM，
∴∠APM=90°=∠FPE，
∴∠APM-∠FPM=∠FPE-∠FPM，
即∠APF=∠MPE，
在△APF和△MPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APF=∠MPE}\\{PF=PE}\\{∠PFA=∠PEM}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△MPE，
∴AF=EM，
∴AO-OM=（AF+OF）-（EM-OE）=20E=2PN，
即AO-OM=2PN．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求點的坐標(biāo)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．