Question

14．如圖1，已知拋物線y=ax²-2ax+3（a≠0），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若OB=3OA．    
（1）求拋物線的解析式；    
（2）連接BC，點(diǎn)P、點(diǎn)Q是第一象限的拋物線上不同的兩點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使得S_△BCP＞S_△BCQ恒成立？若存在，請(qǐng)求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；   
（3）如圖2，D為拋物線的頂點(diǎn)在x軸上的正投影，M為線段OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于E、F兩點(diǎn)，連接AE、OE、BF、DF，若△AEO∽△DFB，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（m，0），B（-3m，0），代入函數(shù)解析式后即可求得m的值，從而求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，確定函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)l解析式：y=-x+k，根據(jù)兩函數(shù)有公共點(diǎn)得到-x+k=-x²+2x+3，得x²-3x+k-3=0，然后根據(jù)l與拋物線相切時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，得到△=21-4k=0，求得k值后即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)M（0，m），過點(diǎn)M的直線y=kx+m，可得：kx+m=-x²+2x+3，然后用k表示出m=3k，得到△=k²-16k+16后即可得到3$\sqrt{{k}^{2}-16k+16}$=8-k，從而求得k值后即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)A（m，0），B（-3m，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}-2am+3=0}\\{9a{m}^{2}+6am+3=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，或m=0（舍去），
∴A（-1，0），B（3，0），
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）存在．如圖，l為直線BC的平行線，
當(dāng)l與拋物線相切時(shí)，S△BCP最大，又P、Q為拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，
∴S_△BCP＞S_△BCQ恒成立，
設(shè)l解析式：y=-x+k，
∴-x+k=-x²+2x+3，得x²-3x+k-3=0，
l與拋物線相切時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=21-4k=0，
解得：k=$\frac{21}{4}$，此時(shí)，x=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）可設(shè)M（0，m），過點(diǎn)M的直線y=kx+m，
可得：kx+m=-x²+2x+3，
解得：x=$\frac{2-k±\sqrt{（k-2）^{2}-4（m-3）}}{2}$，
∴E（$\frac{2-k-\sqrt{△}}{2}$，$\frac{2k-{k}^{2}+k\sqrt{△}}{2}+m$），
F（$\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}$，$\frac{2k-{k}^{2}+\sqrt{△}}{2}+m$），
∵△AEO∽△DFB，
∴$\frac{AP}{DQ}=\frac{EP}{FQ}=\frac{AO}{DO}=\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}+1=\frac{1}{2}（\frac{2-k+\sqrt{△}}{2}-1）}\\{\frac{2k-{k}^{2}-k\sqrt{△}}{2}+m=\frac{1}{2}（\frac{2k-{k}^{2}+k\sqrt{△}}{2}+m）}\end{array}\right.$
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{k+3\sqrt{△}=8}\\{{k}^{2}+3k\sqrt{△}-2k-2m=0}\end{array}\right.$，
解得：m=3k，
∴△=k²-16k+16，
∴3$\sqrt{{k}^{2}-16k+16}$=8-k，
解得：k=8±3$\sqrt{6}$，
∴m=24-9$\sqrt{6}$或m=24+9$\sqrt{6}$（舍去），
∴M（0，24-9$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．