Question

1．P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，如果△PAB和△PCD都是以AB，CD為底的等腰直角三角形，則該四邊形稱為“對(duì)底四邊形”，AB，CD叫底．
（1）對(duì)底四邊形中，以下結(jié)論：①對(duì)角線相等；②對(duì)角線互相垂直；③對(duì)邊的平方和相等；④有一對(duì)三角形面積相等，正確的是①②③④；
（2）若對(duì)底四邊形的底為m，n，面積為S，則S的取值范圍是$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²＜S≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mn．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BD，如圖1，由△PAB和△PCD都是等腰直角三角形，可證得△BPD≌△APC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=BD，∠PBD=∠PAC，從而可得∠AOB=∠APB=90°，然后運(yùn)用勾股定理就可證得AB²+CD²=AD²+BC²．過點(diǎn)C作CF⊥BP，交BP的延長(zhǎng)線于F，過點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2，不妨設(shè)AB=m，CD=n，∠APD=α，根據(jù)同角的余角相等可得∠FPC=∠APD=α，然后運(yùn)用三角函數(shù)表示出△APD和△BPC的高，就可得到△APD和△BPC的面積相等；
（2）利用（1）中的結(jié)論，可得S=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mnsinα，然后借助于sinα的取值范圍，就可得到S的范圍．

解答 解：（1）連接AC、BD，如圖1，

∵△PAB和△PCD都是以AB，CD為底的等腰直角三角形，
∴PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD=90°，
∴∠BPD=∠APC．
在△BPD和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{∠BPD=∠APC}\\{PD=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△APC，
∴AC=BD，∠PBD=∠PAC，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴AC⊥BD，
∴AB²=AO²+BO²，DC²=DO²+OC²，AD²=OA²+OD²，BC²=OB²+OC²，
∴AB²+CD²=AD²+BC²．
過點(diǎn)C作CF⊥BP，交BP的延長(zhǎng)線于F，過點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2，

不妨設(shè)AB=m，CD=n，∠APD=α，
則有∠FPC=90°-∠DPF=∠APD=α，
∴DE=DPsinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα，CF=CPsinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα，
∴S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•DE=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$m•$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα=$\frac{1}{4}$mnsinα，
S_△BPC=$\frac{1}{2}$BP•CF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$m•$\frac{\sqrt{2}}{2}$nsinα=$\frac{1}{4}$mnsinα，
∴S_△APD=S_△BPC．
綜上所述：①②③④正確．
故答案為①②③④；

（2）S=S_△ABP+S_△CPD+S_△APD+S_△BPC
=$\frac{1}{2}$m•$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n•$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{4}$mnsinα+$\frac{1}{4}$mnsinα
=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mnsinα．
∵0＜sinα≤1，
∴$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²＜S≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mn．
故答案為$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²＜S≤$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$n²+$\frac{1}{2}$mn．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、三角函數(shù)值的范圍等知識(shí)，運(yùn)用0＜sinα≤1是解決第2小題的關(guān)鍵．