Question

5．如圖：M、N分別為直角坐標(biāo)系x、y正半軸上兩點(diǎn)，過M、N和原點(diǎn)O三點(diǎn)的圓和直線y=x交于點(diǎn)P，
（1）試判斷△PMN的形狀；
（2）連接MN，設(shè)直線y=x交MN于點(diǎn)G，若PG：PN=3：4，△PGN的周長為6，求△PON的周長．

Answer 1

分析 （1）首先證明出PM=PN，再證明出∠NPM=90°即可；
（2）首先證明出∠PMN=∠PNM和∠OPN=∠OPN，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．

解答 （1）解：△PMN是等腰直角三角形，
理由：∵y=x，
∴∠PON=∠POM=45°．
∴PN=PM．
∵四邊形ONPM內(nèi)接于圓，
∴∠MON+∠NPM=180°．
∵∠MON=90°，
∴∠NPM=90°．
即△PMN是等腰直角三角形．

（2）∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠PMN=∠PNM
∵∠OPN=∠OPN，
∴△PNG∽△PON．
∴△PNG的周長：△PON的周長=PG：PN=3：4．
∴△PNG的周長=6，
∴△PON的周長=8．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的綜合題，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、園內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明（1）的關(guān)鍵是得到∠NPM=90°，證明（2）的關(guān)鍵是得出△PNG∽△PON．