Question

20．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=7，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與邊BC相切于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F，則DE-EF的值等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=DC，以及利用平行線的性質(zhì)得出GD=2.5，再利用切割線定理求出EF的長(zhǎng)，再利用△ABC∽△DEF，得出$\frac{FD}{EF}$=$\frac{AB}{BC}$，即可得求出PM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DE-EF的值．

解答 解：∵AB=AC=5，BC=7，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與邊BC相切于點(diǎn)D（利用等腰三角形三線合一，）
∴BD=CD=3.5，
延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠EDF，GD=$\frac{1}{2}$BC=2.5，
∴AG=BG=2.5，
設(shè)⊙O與邊AB相切于點(diǎn)R，
則BR=BD=3.5，
∴GR=3.5-2.5=1，
∵GR ²=GE×GD，
∴1=GE×2.5，
解得：GE=0.4，
∴DE=GD-GE=2.5-0.4=2.1，
∵∠C=∠EDF，F(xiàn)E=FD（切線長(zhǎng)定理），
∴∠FED=∠FDE=∠C=∠B，
∴△ABC∽△DEF，
∴$\frac{FD}{ED}=\frac{AB}{BC}$，
即$\frac{FD}{2.1}$=$\frac{5}{7}$，
解得：DF=1.5，
∴EF=1.5，則
∴DE-EF=2.1-1.5=0.6．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長(zhǎng)定理和相似三角形的判定等性質(zhì)，得出MN的長(zhǎng)度和△ABC∽△DEF是解決問題的關(guān)鍵．