Question

14．如圖，已知二次函數(shù)y=x²+（1-m）x-m（其中0＜m＜1）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸為直線l．設(shè)P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC
（1）∠ABC的度數(shù)為45°；
（2）求P點坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在著點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最��？如果存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出B點坐標(biāo)，進(jìn)而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出即可；
（2）作PD⊥y軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點E，利用勾股定理AE²+PE²=CD²+PD²，得出P點坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)題意得出△QBC是等腰直角三角形，可得滿足條件的點Q的坐標(biāo)為：（-m，0）或（0，m），進(jìn)而分別分析求出符合題意的答案．

解答 解：（1）令x=0，則y=-m，C點坐標(biāo)為：（0，-m），
令y=0，則x²+（1-m）x-m=0，
解得：x₁=-1，x₂=m，
∵0＜m＜1，點A在點B的左側(cè)，
∴B點坐標(biāo)為：（m，0），
∴OB=OC=m，
∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；
故答案為：45°；

（2）如圖1，作PD⊥y軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點E，
由題意得，拋物線的對稱軸為：x=$\frac{-1+m}{2}$，
設(shè)點P坐標(biāo)為：（$\frac{-1+m}{2}$，n），
∵PA=PC，
∴PA²=PC²，
即AE²+PE²=CD²+PD²，
∴（$\frac{-1+m}{2}$+1）²+n²=（n+m）²+（$\frac{1-m}{2}$）²，
解得：n=$\frac{1-m}{2}$，
∴P點的坐標(biāo)為：（$\frac{-1+m}{2}$，$\frac{1-m}{2}$）；

（3）存在點Q滿足題意，
∵P點的坐標(biāo)為：（$\frac{-1+m}{2}$，$\frac{1-m}{2}$），
∴PA²+PC²=AE²+PE²+CD²+PD²，
=（$\frac{-1+m}{2}$+1）²+（$\frac{1-m}{2}$）²+（$\frac{1-m}{2}$+m）²+（$\frac{1-m}{2}$）²
=1+m²，
∵AC²=1+m²，
∴PA²+PC²=AC²，
∴∠APC=90°，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∵以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，
∴△QBC是等腰直角三角形，
∴由題意可得滿足條件的點Q的坐標(biāo)為：（-m，0）或（0，m），
①如圖1，當(dāng)Q點坐標(biāo)為：（-m，0）時，
若PQ與x軸垂直，則$\frac{-1+m}{2}$=-m，
解得：m=$\frac{1}{3}$，PQ=$\frac{1}{3}$，
若PQ與x軸不垂直，
則PQ²=PE²+EQ²
=（$\frac{1-m}{2}$）²+（$\frac{-1+m}{2}$+m）²
=$\frac{5}{2}$m²-2m+$\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}$（m-$\frac{2}{5}$）²+$\frac{1}{10}$
∵0＜m＜1，
∴當(dāng)m=$\frac{2}{5}$時，PQ²取得最小值$\frac{1}{10}$，PQ取得最小值$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)m=$\frac{2}{5}$，即Q點的坐標(biāo)為：（-$\frac{2}{5}$，0）時，PQ的長度最小，
②如圖2，當(dāng)Q點的坐標(biāo)為：（0，m）時，
若PQ與y軸垂直，則$\frac{1-m}{2}$=m，
解得：m=$\frac{1}{3}$，PQ=$\frac{1}{3}$，
若PQ與y軸不垂直，
則PQ²=PD²+DQ²=（$\frac{1-m}{2}$）²+（m-$\frac{1-m}{2}$）²
=$\frac{5}{2}$m²-2m+$\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}$（m-$\frac{2}{5}$）²+$\frac{1}{10}$，
∵0＜m＜1，
∴當(dāng)m=$\frac{2}{5}$時，PQ²取得最小值$\frac{1}{10}$，PQ取得最小值$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)m=$\frac{2}{5}$，即Q點的坐標(biāo)為：（0，$\frac{2}{5}$）時，PQ的長度最小，
綜上所述：當(dāng)Q點坐標(biāo)為：（-$\frac{2}{5}$，0）或（0，$\frac{2}{5}$）時，PQ的長度最�。�

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及勾股定理和二次函數(shù)最值求法等知識，利用分類討論得出Q點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．