Question

6．若$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{2n+1}$，對任意自然數(shù)n都成立，則a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$；計算：m=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{19×21}$=$\frac{10}{21}$．

Answer 1

分析 已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計算，根據(jù)題意確定出a與b的值即可；原式利用拆項法變形，計算即可確定出m的值．

解答 解：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a}{2n-1}$+$\frac{2n+1}$=$\frac{a（2n+1）+b（2n-1）}{（2n-1）（2n+1）}$，
可得2n（a+b）+a-b=1，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{a-b=1}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$；
m=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{21}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{21}$）=$\frac{10}{21}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$；-$\frac{1}{2}$；$\frac{10}{21}$．

點評 此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．