Question

9．如圖，直角坐標系中，等邊△ABC的∠BAC的平分線交y軸于D，C（0，6）
（1）求D點的坐標（如圖①）；
（2）如圖②，E為x軸上任一點，以CE為邊在第一象限作等邊△CEF，求證：CB+BE=BF．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)及30°的角所對的直角邊為斜邊的一半可得出結(jié)論；
（2）在BF上取一點M，使得BM=BC．利用等邊三角形的性質(zhì)證得△BCF≌△ACE，△BCE≌△MCF，易得結(jié)論；

解答 解：（1）如圖1中，

∵△ABC為等邊三角形，AD為∠BAC的平分線，OC⊥AB，
∴∠DAC=∠DCA=30°
∴AD=CD，∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD，
∴3OD=6，OD=2，
∴D（0，2）；

（2）如圖2中，在BF上取一點M，使得BM=BC．

∵△ABC與△CEF為等邊三角形，
∴AC=AB，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECF+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCF，
在△BCF與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠BCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACE（SAS），
∴∠CBF=∠CAE=60°，
∴△CBM是等邊三角形，
∴CM=CB，∠BCM=∠ECF=60°，
∴∠BCE=∠MCF，
在△BCE和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=CF}\\{∠BCE=∠MCF}\\{BC=CM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△MCF，
∴BE=FM，
∴BF=BM+MF=BC+BE．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是重合添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．