Question

5．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是邊AC的中點(diǎn)，CH⊥BM于H．
（1）試求sin∠MCH的值；
（2）求證：∠ABM=∠CAH．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出MB，證出∠MCH=∠MBC，得出sin∠MCH=sin∠MBC，即可得出結(jié)果；
（2）先由射影定理得出AM²=MC²=MH•MB，得出比例式$\frac{MA}{MH}=\frac{MB}{MA}$，證出△AMH∽△BMA，得出對(duì)應(yīng)角相等即可．

解答 （1）解：在△MBC中，∠MCB=90°，BC=2，
又∵M(jìn)是邊AC的中點(diǎn)，
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵CH⊥BM于H，
∴∠MHC=90°，
∴∠MCH+∠BMC=90°，
∵∠MBC+∠BMC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，
∴sin∠MCH=sin∠MBC=$\frac{MC}{MB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）證明：∵∠ACB=90°，CH⊥BM，
根據(jù)射影定理得：AM²=MC²=MH•MB，
∴$\frac{MA}{MH}=\frac{MB}{MA}$，
又∵∠AMH=∠BMA，
∴△AMH∽△BMA，
∴∠ABM=∠CAH．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．