Question

20．已知等腰△ABC的兩條邊長(zhǎng)分別為4cm和6cm，則等腰△ABC的內(nèi)切圓半徑為$\sqrt{2}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$cm．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓為⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F，連接AO、BO，過(guò)AD⊥BC與D，由于△ABC是等腰三角形，由此可以確定A、O、D三點(diǎn)在同一直線上，可以利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，首先根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出AE，設(shè)OE=r，根據(jù)已知條件可以得到△ADB∽△AEO，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：如圖，設(shè)三角形的內(nèi)切圓為⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F，
過(guò)AD⊥BC與D，
設(shè)OE=OD=OF=rcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴可以確定A、O、D三點(diǎn)在同一直線上，D是BC的中點(diǎn)，
當(dāng)BC=4時(shí)，AB=AC=6，
∴BD=2cm，而AB=6cm，
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}{-BD}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理得AE=AF，BD=BE，CD=CF，
∴AE=AF=（AB+AC-BC）÷2=4，
∵AB是內(nèi)切圓的切線，
∴∠AEO=90°=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEO，
∴OE：BD=AE：AD
設(shè)OE=r，
∴r：2=4：4$\sqrt{2}$，
∴r=$\sqrt{2}$cm．
當(dāng)BC=6，則AB=AC=4，
∴BD=3，
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}{-BD}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理得AE=AF，BD=BE，CD=CF，
∴AE=AF=（AB+AC-BC）÷2=1，
∵AB是內(nèi)切圓的切線，
∴∠AEO=90°=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEO，
∴OE：BD=AE：AD
設(shè)OE=r，
∴r：3=1：$\sqrt{7}$，
∴r=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$cm．
故答案為：$\sqrt{2}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的性質(zhì)，也利用了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，有一定的綜合性，能力要求比較高．