Question

9．問(wèn)題探索
（1）如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部以AD為邊用尺規(guī)作等邊三角形（保留痕跡，不寫作法）．
（2）已知：如圖2，等邊△EFG的頂點(diǎn)E、F、G分別在正方形ABCD的邊AD、AB、DC上（△EFG為正方形的內(nèi)接正三角形），EH⊥FG于點(diǎn)H，連接DH、AH．
求證：△AHD為等邊三角形．
問(wèn)題解決：
（3）現(xiàn)想用一塊邊長(zhǎng)為a的正方形紙板裁剪出面積最大的等邊三角形，請(qǐng)?jiān)趫D3中用尺規(guī)完成裁剪方案（保留作圖痕跡）；直接寫出此時(shí)等邊三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）分別以點(diǎn)A，D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)H，△ADH即為所求；
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形進(jìn)行分析解答即可；
（3）根據(jù)畫等邊三角形的作法進(jìn)行解答．

解答 （1）解：如圖1所示：△ADH即為所求；

（2）證明：如圖2，易知：E、D、G、H都在⊙M上，

則∠EDH=∠EGH=60°，
同理可得：∠EAH=∠EFH=60°，
∴∠AHD=180°-∠EAH-∠EDH=60°，即∠AHD=∠EAH=∠EDH=60°，
∴△AHD為等邊三角形；
（3）解：如圖3，

作法：①以AD為邊在正方形ABCD的內(nèi)部作正△ADH，
②作射線BH交CD于點(diǎn)X，
③以BX為邊在正方形ABCD的內(nèi)部作正△BXY，
正△BXY即為面積最大的正三角形．
此時(shí)等邊三角形的面積為$（{2\sqrt{3}-3}）{a^2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查四邊形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)以點(diǎn)A，D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧做出等邊三角形進(jìn)行解答分析．