Question

6．如圖，已知C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn)，CF⊥AB于點(diǎn)F，直線AC與過點(diǎn)B的切線相交于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)，連接AE交CF于點(diǎn)H，連接CE．
（1）求證：點(diǎn)H是CF中點(diǎn)；
（2）求證：CH是⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為3，BE=4，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BD，而CF⊥AB，所以CF∥BD，根據(jù)相似的判定方法得△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，利用相似的性質(zhì)得$\frac{FH}{BE}$=$\frac{AH}{AE}$，$\frac{CH}{DE}$=$\frac{AH}{AE}$，所以$\frac{FH}{BE}$=$\frac{CH}{DE}$，而BE=DE，則FH=CH；
（2）根據(jù)圓周角定理由AB為⊙的直徑得∠ACB=90°，則∠BCD=90°，而CE為BD邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE=DE，則∠2=∠3，而∠1=∠4，所以有∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，則OC⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得CE是⊙O的切線；
（3）先計算出BD=2BE=6，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理計算出AD=10，再證明Rt△ABC∽Rt△ADB，利用相似比計算出AC=$\frac{18}{5}$，然后證明△ACF∽△ADB，利用相似比可計算出CF=$\frac{72}{25}$．

解答 （1）證明：∵BD為⊙的切線，
∴AB⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF∥BD，
∴△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，
∴$\frac{FH}{BE}$=$\frac{AH}{AE}$，$\frac{CH}{DE}$=$\frac{AH}{AE}$，
∴$\frac{FH}{BE}$=$\frac{CH}{DE}$，
而E為BD中點(diǎn)，
∴BE=DE，
∴FH=CH，
即點(diǎn)H是CF中點(diǎn)；
（2）證明：∵AB為⊙的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
而CE為BD邊上的中線，
∴CE=BE=DE，
∴∠2=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；
（3）解：∵BE=4，
∴BD=2BE=8，
在Rt△ABD中，AB=6，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=10，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，即$\frac{AC}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴AC=$\frac{18}{5}$，
∵CF∥BD，
∴△ACF∽△ADB，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{CF}{8}$=$\frac{\frac{18}{5}}{10}$，
∴CF=$\frac{72}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理和勾股定理．