Question

17．如圖，點E為正方形ABCD的邊BC延長線上一點，BF⊥DE于點F，交CD邊于點G．
（1）求證：BG=DE；
（2）若F是DE的中點，求∠CFE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ASA證明△BCG≌△DCE，即可得出結(jié)論；（2）連接BD，先求出∠E=67.5°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=EF，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠CDE++E=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDE}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE；
（2）解：連接BD，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CBD=45°，
∵F是DE的中點，BF⊥DE，
∴BE=BD，CF=$\frac{1}{2}$DE=EF，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠FCE=∠E=67.5°，
∴∠CFE=180°-67.5°-67.5°=45°．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；證明三角形全等和等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵．