Question

4．如圖，點A的坐標為（1，0），點B在直線y=2x+4上運動，當線段AB最短時，AB的長度為$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 當線段AB最短時，AB與直線y=2x+4垂直，設直線與坐標軸的交點為C、D，作AB′⊥CD，根據(jù)解析式即可求得C、D的坐標，然后根據(jù)勾股定理求得CD，然后根據(jù)三角形相似即可求得AB的最短長度．

解答 解：由直線y=2x+4可知，直線與坐標軸的交點為C（-2，0），D（0，4），
∴OC=2，OD=4，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵點A的坐標為（1，0），
∴AC=2+1=3，
∵∠ACB′=∠DCO，∠ABC=∠DOC=90°，
∴△AB′C∽△DOC，
∴$\frac{AB}{OD}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{AB′}{4}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
∴AB′=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案為$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了垂線段最短的性質，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用，三角形相似的判定和性質，熟知垂線段最短是解題的關鍵．