Question

11．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+4的圖象經(jīng)過點A（4，0）、B（-2，0）．
（1）直接寫出C點坐標(biāo)；
（2）求此二次函數(shù)的表達式；
（3）連結(jié)AC、BC，P是線段AB上的一動點（P不與A、B重合），過P作PD∥AC，交BC于D，連結(jié)CP當(dāng)P在什么位置時，△PCD的面積取最大值？求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式求得點C的坐標(biāo)；
（2）把點A、B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式即可；
（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），利用相似三角形的判定定理推知△PBD∽△ABC，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)易推知△PBD的邊PB上的高為h=$\frac{2}{3}$（m+2）．根據(jù)圖形得到S_△PCD=S_△PBC-S_△PBD，利用二次函數(shù)最值的求法進行解答即可．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式是y=ax²+bx+4，
∴當(dāng)x=0時，y=4，
∴C（0，4）；

（2）把A（4，0）、B（-2，0）代入y=ax²+bx+4，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{4a-2b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
故該函數(shù)解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），則-2＜m＜4，PB=m+2，AB=6，
∵PD∥AC，
∴△PBD∽△ABC，
設(shè)△PBD的邊PB上的高為h，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{h}{OC}$，即h=$\frac{2}{3}$（m+2）．
∴S_△PCD=S_△PBC-S_△PBD=$\frac{1}{2}$（m+2）×4-$\frac{1}{2}$（m+2）（$\frac{2}{3}$m+2）．即S_△PCD=-$\frac{1}{3}$（m-1）²+3．
當(dāng)m=1時，△PCD的面積取最大值3，此時點P的坐標(biāo)為（1，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要系統(tǒng)掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形面積的求法以及二次函數(shù)最值的求法，難度較大．