Question

19．如圖，過(guò)A（1，0）作x軸的垂線，交拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{13}{3}$x于點(diǎn)C．D（3，a）為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M為線段OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN∥AC交拋物線于點(diǎn)N．
（1）求直線OD的解析式；
（2）若四邊形ACNM為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把D（3，a）代入拋物線的解析式求得a的值，然后設(shè)直線OD的解析式為y=kx，代入D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)N坐標(biāo)，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形只要AC=MN，用它建立方程求出m，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵D（3，a）為拋物線上一點(diǎn)，
∴a=-$\frac{4}{3}$×3²+$\frac{13}{3}$×3=1，
∴D（3，1）
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，代入D的坐標(biāo)得：1=3k，
∴k=$\frac{1}{3}$，
∴直線OD的解析式為y=$\frac{1}{3}$x；
（2）過(guò)A（1，0）作x軸的垂線，交拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{13}{3}$x于點(diǎn)C，
∴把x=1代入得，y=3，
∴C（1，3），
∴AC=3，
∵點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)M（m，$\frac{1}{3}$m），
∴N（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{13}{3}$m），
∴MN=|-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{13}{3}$m-$\frac{1}{3}$m|=$\frac{1}{3}$|-4m²+12m|，
∵四邊形ACNM為平行四邊形，
∴AC=MN，
∴$\frac{1}{3}$|-4m²+12m|=3，
∵0＜m＜4，
∴-4m²+12m＞0，
∴-4m²+12m=9，
∴m=$\frac{3}{2}$，
把x=m=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{13}{3}$x得n=$\frac{7}{2}$
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求直線的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．