Question

17．已知拋物線y=x²+bx+c（bc≠0）．
（1）若該拋物線的頂點坐標為（c，b），求其解析式；
（2）點A（m，n），B（m+1，$\frac{3}{8}$n），C（m+6，n）在拋物線y=x²+bx+c上，求△ABC的面積；
（3）在（2）的條件下，拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸交于D（x₁，0），E（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，且0＜x₁+$\frac{1}{3}$x₂＜3，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點式和頂點坐標（c，b）設(shè)解析式，與已知的解析式列等式可求得b和c的值，寫出拋物線的解析式；
（2）由A與C的縱坐標相等可得：m和m+6是方程x²+bx+c=n的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可得b和c的值，把B的坐標代入拋物線的解析式中，再把b和c的值代入可得n的值，表示A、B、C三點的坐標，可求△ABC的面積；
（3）先根據(jù)（2）和根與系數(shù)的關(guān)系得：0＜3x₁+x₂＜9，0＜2x₁-b＜9，由（2）得：m＜x₁＜m+3，兩式相減得b的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為：y=x²+bx+c，
∴拋物線解析式中二次頂?shù)南禂?shù)為1，
設(shè)拋物線的解析式為：y=（x-c）²+b，
∴（x-c）²+b=x²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2c=b}\\{{c}^{2}+b=c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-6x+3；
（2）如圖1，∵點A（m，n），C（m+6，n）在拋物線y=x²+bx+c上，
∴m和m+6是方程x²+bx+c=n的兩根，
即x²+bx+c-n=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+m+6=-b}\\{m（m+6）=c-n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2（m+3）}\\{c={m}^{2}+6m+n}\end{array}\right.$，
∵B（m+1，$\frac{3}{8}$n）在拋物線y=x²+bx+c上，
∴（m+1）²+b（m+1）+c=$\frac{3}{8}$n，
將b、c代入得：（m+1）²-2（m+3）（m+1）+m²+6m+n=$\frac{3}{8}$n，
即n-5=$\frac{3}{8}$n，
n=8，
∴A（m，8），B（m+1，3），C（m+6，8），
∴AC=6，
過B作BG⊥AC于G，則BG=8-3=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×5=15；
（3）由題意得：x₁+x₂=-b，
∴x₂=-b-x₁①，
∵0＜x₁+$\frac{1}{3}$x₂＜3，
∴0＜3x₁+x₂＜9②，
把①代入②得：0＜3x₁-b-x₁＜9，
0＜2x₁-b＜9③，
如圖2，A（m，8），C（m+6，8），
∴AC=m+6-m=6，
∴拋物線的對稱軸是：x=m+3，
∵x₁＜x₂，
∴m＜x₁＜m+3，
2m＜2x₁＜2m+6④，
④-③得：2m＜b＜2m-3．

點評 本題考查了拋物線的頂點式、對稱點的特點、三角形的面積、二次函數(shù)與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點，第二問利用拋物線上的點：縱坐標相等的點是對稱點，與方程相結(jié)合，得到m和m+6是方程x²+bx+c=n的兩根是關(guān)鍵，第三問有難度，注意第1問的結(jié)論不能應(yīng)用2、3問．