Question

19．如圖，菱形ABCD中，AC、BD交于O，AC=8m，BD=6m，動點M從A出發(fā)沿AC方向以2m/s勻速直線動動到C，動點N從B出發(fā)沿BD方向以1m/s勻速直線動動到D，若M、N同進出發(fā)，則出發(fā)后$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$s時，△MON的面積為$\frac{1}{4}$m²．

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，設M、N同時出發(fā)ts時，△MON的面積為$\frac{1}{4}$m²，分類討論：當0≤t≤2時，如圖1，OM=4-2t，ON=3-t，由三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（4-2t）•（3-t）=$\frac{1}{4}$；當2＜t≤3時，如圖2，OM=2t-4，ON=3-t，利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（3-t）=$\frac{1}{4}$；當3＜t≤4時，如圖3，OM=2t-4，ON=t-3，利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（t-3）=$\frac{1}{4}$，然后分別解一元二次方程求出t的值即可．

解答 解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
設M、N同時出發(fā)ts時，△MON的面積為$\frac{1}{4}$m²，
當點M在OA上，點N在OB上，即0≤t≤2時，如圖1，AM=2t，BN=t，則OM=4-2t，ON=3-t，
∵△MON的面積為$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•（4-2t）•（3-t）=$\frac{1}{4}$，
整理得4t²-20t+23=0，解得t₁=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$（舍去），
當點M在OC上，點N在OB上，即2＜t≤3時，如圖2，AM=2t，BN=t，則OM=2t-4，ON=3-t，
∵△MON的面積為$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（3-t）=$\frac{1}{4}$，
整理得4t²-20t+25=0，解得t₁=t₂=$\frac{5}{2}$；
當點M在OC上，點N在OD上，即3＜t≤4時，如圖3，AM=2t，BN=t，則OM=2t-4，ON=t-3，
∵△MON的面積為$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（t-3）=$\frac{1}{4}$，
整理得4t²-20t+25=0，解得t₁=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$，
綜上所述，M、N同時出發(fā)，則出發(fā)后$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$時，△MON的面積為$\frac{1}{4}$m²．
故答案為$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．也考查了解一元二次方程和分類討論思想的應用．