Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，直線BC∥AD，且BC=3，OD=2，將經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線l：y=-2x-10向右平移，平移后的直線與x軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F，設(shè)AE的長為t（t≥0）．
（1）四邊形ABCD的面積為20；
（2）設(shè)四邊形ABCD被直線l掃過的面積（陰影部分）為S，請(qǐng)直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，直線EF上有一動(dòng)點(diǎn)P，作PM⊥直線BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，將△PMF沿直線EF折疊得到△PTF，探究：是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)T恰好落在坐標(biāo)軸上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)解析式得到OA=5，求得AC=7，得到OC=4，于是得到結(jié)論；
（2）①當(dāng)0≤t≤3時(shí)，根據(jù)已知條件得到四邊形ABFE是平行四邊形，于是得到S=AE•OC=4t；②當(dāng)3≤t＜7時(shí)，如圖1，求得直線CD的解析式為：y=2x-4，直線E′F′的解析式為：y=-2x+2t-10，解方程組得到G（$\frac{t-3}{2}$，t-7），于是得到S=S_{四邊形ABCD}-S_△DE′G=20-$\frac{1}{2}$×（7-t）×（7-t）=-$\frac{1}{2}$t²+7t-$\frac{9}{2}$，③當(dāng)t≥7時(shí)，S=S_{四邊形ABCD}=20，
（3）當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（-3，0），（-1，-4），此時(shí)直線EF的解析式為：y=-2x-6，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-2m-6），求得PM=|（-2m-6）-（-4）|=2|m+1|，PN=|-2m-6|=2|m+3|，F(xiàn)M=|m-（-1）|=|m+1|，①假設(shè)直線EF上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)T恰好落在x軸上，如圖2，連接PT，F(xiàn)T，②假設(shè)直線EF上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)T恰好落在y軸上，如圖3，連接PT，F(xiàn)T，根據(jù)全等三角形的判定性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在y=-2x-10中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-5，
∴A（-5，0），
∴OA=5，
∴AD=7，
把x=-3代入y=-2x-10得，y=-4
∴OC=4，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（3+7）×4=20；
故答案為：20；
（2）①當(dāng)0≤t≤3時(shí)，∵BC∥AD，AB∥EF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴S=AE•OC=4t；
②當(dāng)3≤t＜7時(shí)，如圖1，∵C（0，-4），D（2，0），
∴直線CD的解析式為：y=2x-4，
∵E′F′∥AB，BF′∥AE′
∴BF′=AE=t，
∴F′（t-3，-4），
直線E′F′的解析式為：y=-2x+2t-10，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=-2x+2t-10}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t-3}{2}}\\{y=t-7}\end{array}\right.$
∴G（$\frac{t-3}{2}$，t-7），
∴S=S_{四邊形ABCD}-S_△DE′G=20-$\frac{1}{2}$×（7-t）×（7-t）=-$\frac{1}{2}$t²+7t-$\frac{9}{2}$，
③當(dāng)t≥7時(shí)，S=S_{四邊形ABCD}=20，
綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)解析式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{4t（0≤t≤3）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+7t-\frac{9}{2}（3≤t＜7）}\\{20（t≥7）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（-3，0），（-1，-4），
此時(shí)直線EF的解析式為：y=-2x-6，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-2m-6），
∵PM⊥直線BC于M，交x軸于n，
∴M（m，-4），N（m，0），
∴PM=|（-2m-6）-（-4）|=2|m+1|，PN=|-2m-6|=2|m+3|，F(xiàn)M=|m-（-1）|=|m+1|，
①假設(shè)直線EF上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)T恰好落在x軸上，
如圖2，連接PT，F(xiàn)T，則△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，F(xiàn)T=FM=|m+1|，∴$\frac{PT}{FT}$=2，
作FK⊥x軸于K，則KF=4，
由△TKF∽△PNT得，$\frac{NT}{KF}=\frac{PT}{TF}$=2，
∴NT=2KF=8，
∵PN²+NT²=PT²，
∴4（m+3）²+8²=4（m+1）²，
解得：m=-6，∴-2m-6=6，
此時(shí)，P（-6，6）；
②假設(shè)直線EF上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)T恰好落在y軸上，
如圖3，連接PT，F(xiàn)T，則△PFM≌△PFT，
∴PT=PM=2|m+1|，F(xiàn)T=FM=|m+1|，
∴$\frac{PT}{FT}$=2，
作PH⊥y軸于H，則PH=|m|，
由△TFC∽△PTH得，$\frac{HT}{CF}=\frac{PT}{TF}=2$，
∴HT=2CF=2，
∵HT²+PH²=PT²，
即2²+m²=4（m+1）²，
解得：m=-$\frac{8}{3}$，m=0（不合題意，舍去），
∴m=-$\frac{8}{3}$時(shí)，-2m-6=-$\frac{2}{3}$，
∴P（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
綜上所述：直線EF上存在點(diǎn)P（-6，6）或P（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$）使點(diǎn)T恰好落在y軸上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求函數(shù)的解析式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．