Question

15．已知四邊形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點(diǎn)．
（Ⅰ）如圖1，求∠AOD的度數(shù)；
（Ⅱ）如圖1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的長(zhǎng)；
（Ⅲ）如圖2，若F是AD的中點(diǎn)，在（Ⅱ）中條件下，求FO的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)內(nèi)切圓的定義得到AD、AB、CD為⊙O的切線，則根據(jù)切線長(zhǎng)定理得∠ODA=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，再利用平行線的性質(zhì)得∠ADC+∠BAC=180°，所以∠ODA+∠OAD=90°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠AOD的度數(shù)；
（Ⅱ）先在Rt△AOD中利用勾股定理可計(jì)算出AD=10（cm），再根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥AD，然后利用面積法可計(jì)算出OE的長(zhǎng)；
（Ⅲ）直接根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求解．

解答 解：（Ⅰ）∵⊙O為四邊形ABCD的內(nèi)切圓，
∴AD、AB、CD為⊙O的切線，
∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
即∠ODA=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAC=180°，
∴∠ODA+∠OAD=90°，
∴∠AOD=90°；
（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，
∴AD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm），
∵AD切⊙O于E，
∴OE⊥AD，
∴$\frac{1}{2}$OE•AD=$\frac{1}{2}$OD•OA，
∴OE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$（cm）；
（Ⅲ）∵F是AD的中點(diǎn)，
∴FO=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×10=5（cm）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了切線長(zhǎng)定理．