Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是菱形，B、O在x軸負半軸上，AO=$\sqrt{5}$，tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象過A、B兩點，反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象過OA的中點D．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）平移一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象得y=k₁x+b₁，當一次函數(shù)y=k₁x+b₁的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象無交點時，求b₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交OB于E，由菱形的性質(zhì)得出BE=OE=$\frac{1}{2}$OB，OB⊥AC，由三角函數(shù)tan∠AOB=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，得出OE=2AE，設(shè)AE=x，則OE=2x，根據(jù)勾股定理得出OA=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，解方程求出AE=1，OE=2，得出OB=2OE=4，得出A、B的坐標，由待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；再求出點D的坐標，代入反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$，求出k₂的值即可；
（3）由題意得出方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b_1}\\{y=-\frac{1}{2x}}\end{array}\right.$ 無解，消去y化成一元二次方程，由判別式△＜0，即可求出b₁的取值范圍．

解答 解：（1）連接AC，交OB于E，如圖所示：
∵四邊形ABCO是菱形，
∴BE=OE=$\frac{1}{2}$OB，OB⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∴tan∠AOB=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=2AE，
設(shè)AE=x，則OE=2x，
根據(jù)勾股定理得：OA=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，
∴x=1，
∴AE=1，OE=2，
∴OB=2OE=4，
∴A（-2，1），B（-4，0），
把點A（-2，1），B（-4，0）代入一次函數(shù)y=k₁x+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-2{k}_{1}+b=1}\\{-4{k}_{1}+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k₁=$\frac{1}{2}$，b=2，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+2；
∵D是OA的中點，A（-2，1），
∴D（-1，$\frac{1}{2}$），
把點D（-1，$\frac{1}{2}$）代入反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$得：k₂=-$\frac{1}{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{2x}$；

（2）根據(jù)題意得：一次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+b₁，
∵一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+b₁的圖象與反比例函數(shù)y=-$\frac{1}{2x}$的圖象無交點，
∴方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b_1}\\{y=-\frac{1}{2x}}\end{array}\right.$ 無解，
即$\frac{1}{2}$x+b₁=-$\frac{1}{2x}$無解，
整理得：x²+2b₁x+1=0，
∴△=（2b₁）²-4×1×1＜0，b₁²＜1，
解得：-1＜b₁＜1，
∴當一次函數(shù)y=k₁x+b₁的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象無交點時，b₁的取值范圍是-1＜b₁＜1．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、勾股定理、解方程組等知識；本題難度較大，綜合性強，需要通過作輔助線求出點的坐標和解方程組才能得出結(jié)果．