Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與坐標軸交于A，B，C三點，己知點A的坐際是（3，0）．且0A=OC=3OB．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）拋物線上是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖，點D是拋物線在x軸上方的一動點，對稱軸與直線AD，BD，x軸交于E，F(xiàn)，M三點．求證：ME+MF為定值．

Answer 1

分析 （1）先確定B（-1，0），C（0，3），則設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標代入求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，如圖1，過點C作AC的垂線交拋物線于P點，利用兩直線垂直一次項系數(shù)互為負倒數(shù)易得直線PC的解析式為y=x+3，則通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得此時P點坐標；過點A作AC的垂線交拋物線于P點，同同樣方法可得此時P點坐標；
（3）設(shè)D（t，-t²+2t+3），利用待定系數(shù)法得到直線BD的解析式為y=（3-t）x+3-t，直線AD的解析式為y=（-t-1）x+3（t+1），則可表示出F（1，6-2t），E（1，2t+2），所以ME=2t+2，MF=6-2t，于是得到ME+MF=8．

解答 （1）解：∵A（3，0），
∴OA=3，
∵0A=OC=3OB，
∴OC=3，OB=1，
∴B（-1，0），C（0，3），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）解：存在．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+3，
如圖1，過點C作AC的垂線交拋物線于P點，則△PCA是以AC為直角邊的直角三角形，易得直線PC的解析式為y=x+3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，此時P點坐標為（1，4）；
過點A作AC的垂線交拋物線于P點，則△PCA是以AC為直角邊的直角三角形，易得此時直線AC的解析式為y=x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-5}\end{array}\right.$，此時P點坐標為（-2，-5）；
綜上所述，所有符合條件的點P的坐標為（1，4）或（-2，-5）；
（3）證明：拋物線的對稱軸為直線x=1，則M（1，0），
設(shè)D（t，-t²+2t+3），
設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，
把B（-1，0），D（t，-t²+2t+3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{tm+n=-{t}^{2}+2t+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3-t}\\{n=3-t}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=（3-t）x+3-t，
同樣方法可求得直線AD的解析式為y=（-t-1）x+3（t+1），
當(dāng)x=1時，y=（3-t）x+3-t=6-2t，則F（1，6-2t），
當(dāng)x=1時，y=（-t-1）x+3（t+1）=2t+2，則E（1，2t+2），
∴ME=2t+2，MF=6-2t，
∴ME+MF=2t+2+6-2t=8，
∴ME+MF為定值．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，把求兩函數(shù)的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題；理解坐標與圖形性質(zhì)．