Question

6．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，弦PQ∥AB交弦CD于點M，BE=18，CD=PQ=24，則OM的長為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作OF⊥PQ于F，連接OP，根據已知和圖形證明四邊形MEOF為正方形，設半徑為x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根據勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．

解答 解：作OF⊥PQ于F，連接OP，
∴PF=$\frac{1}{2}$PQ=12，
∵CD⊥AB，PQ∥AB，
∴CD⊥PQ，
∴四邊形MEOF為矩形，
∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，
∴OE=OF，
∴四邊形MEOF為正方形，
設半徑為x，則OF=OE=18-x，
在直角△OPF中，
x²=12²+（18-x）²，
解得x=13，
則MF=OF=OE=5，
∴OM=5$\sqrt{2}$．
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應用，正確作出輔助線構造直角三角形運用勾股定理是解題的關鍵．