Question

16．已知直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（2）將這條直線平移，使它與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，如果四邊形ABCD是平行四邊形，并指出這條直線平移的方向和距離；
（3）在第（2）小題的條件下，如果點(diǎn)P在x軸上，且△APC是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出A、M、B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$，得出k的值即可；
（2）分兩種情況：①若直線y=2x+2向上平移，CD＜AB，四邊形ABCD不是平行四邊形；
②若直線AB向下平移，作BE⊥x軸于E，過(guò)C、D點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們相交于點(diǎn)F；證明△ABE≌△DCF，得出DF=AE=2，CF=BE=4，求出OD，即可得出結(jié)果；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠APC=90°時(shí)，OP=2，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)；
②當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，作CF⊥AP于F，由勾股定理求出AC，由射影定理求出AP，得出OP，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=2x+2，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1；
當(dāng)x=0時(shí)，y=2；
∴A（-1，0），M（0，2），
∴OA=1，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱，
∴BM=AM，
∴B（1，4），
把B（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{4}{x}$；
（2）分兩種情況：①若直線y=2x+2向上平移，如圖1所示：

則CD＜AB，
∴四邊形ABCD不是平行四邊形；
②若直線AB向下平移，
作BE⊥x軸于E，分別過(guò)C、D點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們相交于點(diǎn)F；
如圖2所示：

則∠AEB=∠F=90°，AE∥DF，
∴∠1=∠CDF，
若四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠1，
∴∠BAE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CDF}&{\;}\\{∠AEB=∠F}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴DF=AE=2，CF=BE=4，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，
把x=2代入y=$\frac{4}{x}$得：y=2，
∴OD=4-2=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴如果四邊形ABCD是平行四邊形，直線AB向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到BC；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠APC=90°時(shí)，如圖3所示：

OP=2，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0）；
②當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，
作CF⊥AP于F，如圖4所示：

則AF=3，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴由射影定理得：AC²=AF×AP，
∴AP=$\frac{13}{3}$，
∴OP=$\frac{13}{3}$-1=$\frac{10}{3}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，0）．
綜上所述：如果點(diǎn)P在x軸上，且△APC是直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（$\frac{10}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)解析式的求法、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平移的性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要進(jìn)行分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形，證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果．