Question

7．問題深究．
有一塊矩形鐵皮ABCD，AB=3，BC=2$\sqrt{10}$．
（1）如圖①，在矩形鐵皮ABCD上找一個點(diǎn)E使得△AEB為等邊三角形，并求出△AEB的面積．
（2）如圖②，在矩形鐵皮ABCD上找出所有點(diǎn)F使得∠AFB=45°，并求出△AFB的最大面積．
（3）如圖③，工人師傅想用這塊矩形鐵皮ABCD裁剪出兩塊全等且面積最大的△AMB和△CND，且∠AMB=∠CND=30°，請?jiān)趫D中畫出符合條件的M、N，并求出此時△AMB的面積．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，分別以A、B為圓心AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，△ABE即為等邊三角形；
（2）如圖②中，在BC上取一點(diǎn)H，使得AB=BH，作△ABH的外接圓交AD于M，則當(dāng)點(diǎn)F在$\widehat{MH}$上時，∠AFB=∠AHB=45°，當(dāng)F是$\widehat{MH}$的中點(diǎn)時，△ABF的面積最大；
（3）如圖③中，在BC上取一點(diǎn)E，使得∠AEB=30°，在AD上取一點(diǎn)F，使得∠CFD=30°，連接AC，分別作△ABE，△DFC的外接圓交AC于M、N．此時△ABM≌△CDN，且面積最大；

解答 解：（1）如圖①中，分別以A、B為圓心AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，△ABE即為等邊三角形．
S_△ABE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•3²=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．


（2）如圖②中，在BC上取一點(diǎn)H，使得AB=BH，作△ABH的外接圓交AD于M，則當(dāng)點(diǎn)F在$\widehat{MH}$上時，∠AFB=∠AHB=45°，
當(dāng)F是$\widehat{MH}$的中點(diǎn)時，△ABF的面積最大，最大面積=$\frac{1}{2}$•3•（$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{9+9\sqrt{2}}{4}$．

（3）如圖③中，在BC上取一點(diǎn)E，使得∠AEB=30°，在AD上取一點(diǎn)F，使得∠CFD=30°，連接AC，
分別作△ABE，△DFC的外接圓交AC于M、N．此時△ABM≌△CDN，且面積最大，連接EM．
∵AE是直徑，
∠AME=∠EMC=90°，∵∠ECM=∠ACB，
∴△ECM∽△ACB，
∴EC：AC=CM：BC，
∵AC=$\sqrt{{3}^{2}+（2\sqrt{10}）^{2}}$=7，EC=2$\sqrt{10}$-3$\sqrt{3}$，
∴（2$\sqrt{10}$-3$\sqrt{3}$）：7=CM：2$\sqrt{10}$，
∴CM=$\frac{40-6\sqrt{30}}{7}$，AM=7-CM=$\frac{9+6\sqrt{10}}{7}$，
∴S_△ABM：S_△ABC=AM：AC，
∴S_△ABM=$\frac{27\sqrt{10}+180}{49}$．

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加輔助圓解決問題，屬于中考壓軸題．