Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0，8），點(diǎn)C在OB上運(yùn)動，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；D是x軸上一點(diǎn)，作菱形CDEF，當(dāng)頂點(diǎn)F恰好落在y軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的值為$\frac{56}{57}$．

Answer 1

分析 設(shè)C（0，m）．由DF∥AB，CF=BF=DE=$\frac{8-m}{2}$，根據(jù)cos∠CBE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{8}{10}$，可得BE=$\frac{4}{5}$（8-m），推出AE=10-$\frac{4}{5}$（8-m），由DE∥OB，推出∠ADE=∠AOB=90°，推出sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，可得$\frac{\frac{8-m}{2}}{10-\frac{4}{5}（8-m）}$=$\frac{4}{5}$，解方程即可解決問題．

解答 解：如圖，設(shè)C（0，m）．

∵四邊形EFCD是菱形，
∴DF⊥CE，CP=PE，
∵CE⊥AB，
∴DF∥AB，CF=BF=DE=$\frac{8-m}{2}$，
∵cos∠CBE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{8}{10}$，
∴BE=$\frac{4}{5}$（8-m），
∴AE=10-$\frac{4}{5}$（8-m），
∵DE∥OB，
∴∠ADE=∠AOB=90°，
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{8-m}{2}}{10-\frac{4}{5}（8-m）}$=$\frac{4}{5}$，
∴m=$\frac{56}{57}$，
故答案為$\frac{56}{57}$．

點(diǎn)評 本題考查菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．