Question

20．探究：如圖①，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和l₁，l₂分別交于點(diǎn)C和D，直線l₃上有一點(diǎn)P．
（1）若點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠PAC，∠APB，∠PBD之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由．
（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合），請嘗試自己畫圖，寫出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖②，AB∥EF，∠C=90°，我們可以用類似的方法求出∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系，請直接寫出∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先過點(diǎn)P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由直線l₁∥l₂，根據(jù)兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．
（3）分別過C、D作AB的平行線CM和DN，由平行線的性質(zhì)可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，即可得出∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．

解答 解：（1）如圖①，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：過點(diǎn)P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如圖甲，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l₁上方時(shí)，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如圖乙，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l₂下方時(shí)，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

（3）∠α+∠β-∠γ=90°．
證明：如圖②，分別過C、D作AB的平行線CM和DN，

∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，
∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，
又∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠α+∠β=90°+∠γ，
即∠α+∠β-∠γ=90°．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)的運(yùn)用；熟練掌握平行線的性質(zhì)，并能作出輔助線，進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．