Question

9．一個三位正整數(shù)M，其各位數(shù)字均不為零且互不相等．若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，得到一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”，如：168的“友誼數(shù)”為“618”；若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字中任選兩個組成一個新的兩位數(shù)，并將得到的所有兩位數(shù)求和，我們稱這個和為M的“團(tuán)結(jié)數(shù)”，如：123的“團(tuán)結(jié)數(shù)”為12+13+21+23+31+32=132．
（1）求證：M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；
（2）若一個三位正整數(shù)N，其百位數(shù)字為2，十位數(shù)字為a、個位數(shù)字為b，且各位數(shù)字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“團(tuán)結(jié)數(shù)”與N之差為24，求N的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以表示出M的友誼數(shù)，然后作差再除以15即可解答本題；
（2）根據(jù)題意可以表示出N和N的團(tuán)結(jié)數(shù)，然后作差即可解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
設(shè)M為100a+10b+c，則它的友誼數(shù)為：100b+10a+c，
（100a+10b+c）-（100b+10a+c）
=100a+10b+c-100b-10a-c
=100（a-b）+10（b-a）
=90（a-b），
∵$\frac{90（a-b）}{15}=6（a-b）$，
∴M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除；
（2）由題意可得，
N=2×100+10a+b=200+10a+b，
N的團(tuán)結(jié)數(shù)是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，
∴22a+22b+44-（200+10a+b）=24，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
即N是284或218．

點評 本題考查因式分解的應(yīng)用、解二元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．