Question

14．如圖，矩形OABC的長OA=$\sqrt{3}$，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC，經(jīng)過C，P，A三點的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D，則梯形COAD的面積為（　�。�

• A． $\frac{7}{4}$$\sqrt{3}$
• B． $\frac{7}{16}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{7}{8}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的邊長求得點P的坐標，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后將D的縱坐標代入求出點D的橫坐標，最后根據(jù)梯形的面積公式求解．

解答 解：∵OA=$\sqrt{3}$，OC=1，
∴tan∠OAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAC=30°，∠ACP=∠ACO=60°，
過P作PM⊥OA于M，交CB于G，
則PG⊥CD，
∠GCP=30°，GP=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，
CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設過 A、P、C三點拋物線解析式為y=ax²+bx+c．
∴c=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+1=\frac{3}{2}}\\{3a+\sqrt{3}b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x²+$\sqrt{3}$x+1，
∵四邊形OABC為矩形，
∴設點D坐標為（m，1），
則-$\frac{4}{3}$m²+$\sqrt{3}$m+1=1，
解得：m=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$或m=0（舍去），
則梯形COAD的面積為：$\frac{1}{2}$（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$+$\sqrt{3}$）×1=$\frac{7\sqrt{3}}{8}$．
故選C．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及了矩形的性質、圖形的翻折變換、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的面積公式等知識，涉及的知識點較多，難度較大．