Question

2．已知，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PQ∥BC，AD⊥BC，與PQ交于E
（1）當(dāng)S_△PQA=S_PBCQ時，求AE的長；
（2）當(dāng)△PAQ的周長與四邊形PBCQ的周長相等時，求AP的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理求得AD=4，由已知條件得到S_△PQA=$\frac{1}{2}$S_△ABC，通過△PQA∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件推出AP+AQ=PB+6+CQ，由三角形相似得到△APQ是等腰三角形，于是得到AP=AQ=5-PB，設(shè)AP=AQ=x，列方程即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵AB=5，
∴AD=4，
∵S_△PQA=S_PBCQ，
∴S_△PQA=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{△PQA}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△PQA}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AD}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2$\sqrt{2}$；

（2）∵△PAQ的周長與四邊形PBCQ的周長相等，
∴AP+AQ+PO=PB+BC+CQ+PQ，
∴AP+AQ=PB+6+CQ，
∵△APQ∽△ABC，
∴△APQ是等腰三角形，
∴AP=AQ=5-PB，
設(shè)AP=AQ=x，
∴PB=QC=5-x，
∴2x=10-2x+6，
∴x=4，
∴AP=4．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．